Презентация на тему "арифметическая и геометрическая прогрессии". Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессия

Слайд 1

Арифметическая и Геометрическая прогрессии
Проект ученика 9б класса Тесли Дмитрия

Слайд 2

Прогрессия
- числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d. Число d называется разностью прогрессии. - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q. Число q называется знаменателем прогрессии.

Слайд 3

Прогрессия
Арифметическая Геометрическая
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an=a1+d(n–1) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется так: Sn=0,5(a1+an)n Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn=b1qn-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется так: Sn=b1(qn-1)/q-1

Слайд 4

Арифметическая прогрессия
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Слайд 5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- это геометрическая прогрессия, у которой |q|

Слайд 6

Арифметическая и геометрическая прогрессии, как оправдание войн
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Слайд 7

Практическое применение геометрической прогрессии
Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией – подсчет численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40.

Слайд 8

Экология и промышленность
Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

Слайд 9

Биология
Бактерия за одну секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке за пять секунд? Первый член прогрессии – одна бактерия. По формуле найдем, что на вторую секунду мы будем иметь 3 бактерии, на третью - 9, на четвертую - 27, на пятую - 32. Таким образом можно рассчитать количество бактерий в пробирке в любой момент времени.

Слайд 10

Экономика
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении сложных процентов. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей? На следующий после вклада год мы будем иметь 1050 рублей, на третий год – 1102,5, на четвертый – 1157,625, на пятый – 1215,50625 рублей.

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… ––––32 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… –2–– 6– 8 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 – 2 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

УЭ2 1) Дано: (а n) арифметическая прогрессия а 1 = 5 d = 3 Найти: а 6 ; а 10. Решение: используя формулу а n = а 1 +(n -1) d а 6 = а 1 +5 d = = 20 а 10 = а 1 +9 d = = 32 Ответ: 20; 32 Решение

УЭ2 1)Дано: (b n) геометрическая прогрессия b 1 = 5 q = 3 Найти: b 3 ; b 5. Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 3 =b 1 q 2 = =5. 9=45 b 5 =b 1 q 4 = =5. 81=405 Ответ:45; 405. Решение

УЭ3 1)Дано: (а n), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ? 2)Дано: (b n), b 12 = – 32, b 13 = – 16.Найти: q – ? 3)Дано: (а n), а 21 = – 44, а 22 = – 42. Найти: d - ? 4)Дано: (а n), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ? 5) Дано: (b n), q = 2. Найти: b 5 – ?

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла:) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5.1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию) В геометрической прогрессии b 12 = З 15 и b 14 = З 17. Найдите b 1.

Включить эффекты

1 из 26

Отключить эффекты

Смотреть похожие

Код для вставки

ВКонтакте

Одноклассники

Телеграм

Рецензии

Добавить свою рецензию

Слайд 1

Учитель математики Семьянинова Е.Н. МБОУ «Воронежская кадетская школа им. А.В. Суворова»

Слайд 2

Игре на фортепиано; научиться этому можно лишь Д. Пойа.

Слайд 3

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение.Например, мороженое «пломбир» получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Слайд 4

Узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Слайд 5

Слайд 6

молния - перевод французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

Слайд 7

Прогрессии в жизни и быту

В природе все продумано и совершенно.

Слайд 8

Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм., а каждый следующий – на 2 дм. длиннее. Найдите длину семи таких стержней. Ответ: 77 дм.

Слайд 9

В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? Ответ: 121

Слайд 10

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. 18 тонн

Слайд 11

Тело падает с башни, высотой 26 м. В первую секунду проходит 2м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до удара о землю? Ответ: 4 секунды

Слайд 12

За первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам. Ответ: 30 дней

Слайд 13

Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй автомобиль, который в первый час прошел 20 км, а каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км? Ответ: 2 часа

Слайд 14

Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? Ответ:1900

Слайд 15

Немного истории

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах».

Слайд 16

На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед.

Слайд 17

В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:

Слайд 18

128 -3 7 -3+7=4 4 16 -4 -2 -1 0 1 2 3 5 6 64 6-(-1)=7 32 1 2 4 8

Слайд 19

кросснамбер

а б д е в г ж

Слайд 20

5 1 1 2 1 1 2 6 5 0 0 5 0 0 8 1 3 а б в г д е ж

Слайд 21

Решение задач

Слайд 22

1. Решение: b2=3q, b3=3q2 , q=-5; -4; -3; -2; -1 3; -15; 75 3; -12; 48;… 3; -9; 27;… 3; -6; 12;… 3; -3; 3;… Ответ:

Слайд 23

2. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. Решение: Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

Слайд 24

3. Уравнение имеет корни, а уравнение – корни. Определите k и m, если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. подсказка Решение: - геометрическая прогрессия Ответ: k=2, m=32

Слайд 25

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Слайд 26

литература

Посмотреть все слайды

Конспект

МБОУ «Воронежская кадетская

школа им. А.В. Суворова»

Семьянинова Е. Н.

Умение решать задачи – практическое искусство,

подобное плаванию или катанию на лыжах, или

подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Найдите сумму одиннадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен – 5, а шестой равен – 3,5.

Ответ: 77дм

Ответ: 18 тонн

Ответ: 4 секунды

Улитка

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

Ответ: 1900

Другой пример.

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Нетрудно сообразить:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

По горизонтали:

;

127; -119; …;

По вертикали:

Дана геометрическая прогрессия 3; b2; b3;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если

12q2 + 72q +35 =0

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1


Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

k и m

По теореме Виета

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k= 2, m= 32

VII. Домашнее задание.

Решите задачи.

Литература:

Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова С.С. Москва. 2003.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.

МБОУ «Воронежская кадетская

школа им. А.В. Суворова»

Семьянинова Е. Н.

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

1) обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности;

2) продолжить формирование практических навыков;

3) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью.

Умение решать задачи – практическое искусство,

подобное плаванию или катанию на лыжах, или

игре на фортепиано; научиться этому можно лишь,

подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

I. Организационный момент. Объяснение целей урока. (Слайд 2)

II. Разминка. В мире интересного. (Слайд 3-6)

Французское слово «десерт» означает сладкие блюда, подаваемые в конце обеда. Названия некоторых десертов, пирожных и мороженного, также имеют французское происхождение. Например, мороженое «пломбир» получило свое название от французского города Пломбьер. Где оно впервые было изготовлено по особой рецептуре.

Используя найденный ответ и данные таблицы, узнайте, как переводится французское слово «безе» (легкое пирожное из взбитых яичных белков и сахара)?

Французское слово «безе» в переводе означает поцелуй. Второе из предложенных слов – «молния», является переводом французского слова «эклер» (пирожное из заварного теста с кремом внутри).

III. Прогрессии в жизни и быту. (Слайд 7)

Задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы.

Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий - на 2 дм длиннее. Найдите длину семи таких стержней. (Слайд 8)

Ответ: 77дм

В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (Слайд 9)

Ответ: 18 тонн

Тело падает с башни, высотой 6 м. В первую секунду проходит 2м, за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет тело до земли? (Слайд 11)

Ответ: 4 секунды

Улиткаползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150

метрам. (Слайд 12)

Ответ: 30 дней

Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр? (Слайд 14)

Ответ: 1900

IV.Немного истории. (Слайд 15-16)

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил внимание Архимед. В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу (Слайд 17):

В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт.

А теперь представьте, что мы не умеем умножать и делить. Необходимо умножить, например, на 128. В таблице над написано -3, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 4. Под 4 читаем 16. Это есть искомое произведение.

Другой пример.

Разделим 64 на. Поступаем аналогично:

64 6 -1 6 – (-1) = 7

Нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

2-4; 2-3; 2-2; 2-1; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Нетрудно сообразить:

2-3∙ 27 = 24, 26: 2-1 = 27

Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. (Слайд 18)

V. Кросснамбер. (Слайд 19-20)

Работа в группах.

Кросснамбер – один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица». При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при составлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль.

В каждую клетку кресточислицы вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). А чтобы не было путаницы, номера заданий обозначаются буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, - только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042).

Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Но таков стиль кросснамберов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой.

По горизонтали:

а) количество нечетных чисел натурального ряда, начиная с 13, сумма которых равна 3213;

в) сумма пяти первых членов геометрической прогрессии, четвертый член которой равен 3, а седьмой равен ;

д) сумма первых шести положительных членов арифметической прогрессии

127; -119; …;

е) третий член геометрической прогрессии (bn), у которой первый член равен 5, а знаменатель g равен 10;

ж) сумма -13 + (-9) + (-5) + … + 63, если ее слагаемые – последовательные члены арифметической прогрессии.

По вертикали:

А) сумма всех двузначных чисел, кратных девяти;

Б) удвоенный двадцать первый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -5, а разность равна 3;

В) шестой член последовательности, которая задана формулой n-го члена

Г) разность арифметической прогрессии, если.

VI. Решение нестандартных задач. (Слайд 21)

Дана геометрическая прогрессия 3; b2; b3;…, знаменатель которой - целое число. Найдите эту прогрессию, если

b2=3q, b3=3q2, тогда. Решим неравенство.

12q2 + 72q +35 =0

Значит, q=-5; -4; -3; -2; -1

Искомые последовательности: 3; -15; 75;…

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найдите эти числа. (Слайд 23).

В, с – искомые числа. Составим таблицу.


Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

По условию сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26, т.е. , в=6

Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

Ответ: -6; 6; 18 или 10; 6; 2

Уравнение имеет корни, а уравнение – корни. Определите k и m , если числа – последовательные члены возрастающей геометрической прогрессии. (Слайд 24-25)

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, имеем:

По теореме Виета

Получаем, так как последовательность возрастающая.

Искомые числа: 1; 2; 4; 8.

Ответ: k= 2, m= 32

VII. Домашнее задание.

Решите задачи.

Найдите геометрическую прогрессию, если сумма первых трех членов ее равна 7, а их произведение равно 8.

Разделите число 2912 на 6 частей так, чтобы отношение каждой части к последующей было равно

В арифметической прогрессии составляет и. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104?

Литература:

Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.

Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е. Бондаренко. Воронеж. 2001.

Скачать конспект

Открытый урок по алгебре 9 класс

Арифметическая и геометрическая прогрессии
подготовила учитель математики
высшей категории Исабекова Кульжаган Нурхамитовна
вечерняя сменная средняя общеобразовательная школа
г.Атбасар

Учитель: ИсабековаК.Н. Цели урока:

Образовательная:проверка уровня усвоения теоретических знаний и умения применять их при решении задач
Развивающая:развитие речи,умение правильно излагать свои мысли,анализировать и делать выводы
Воспитательная: воспитание интереса к предмету, потребности к знаниям

Говорящая трибуна -формулы для нахождения п-го члена арифметической и геометрической прогрессии

-формулу суммы п-первых членов

Математический диктант

Какая последовательность?
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …

Истинно или ложно

1) В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;:: разность равна 2 .
2) В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;:: третий член равен 2,7.
3) 11-й член арифметической прогрессии, у которой а1 = -4,2; d = 0,4, равен 0,2.
4) Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой b1= 1 q = - 2, равна 11.
5) Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией.
6) Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией

Теория в кластере

1 группа- арифметическая
прогрессия
2 группа-геометрическая
прогрессия
3 группа-последовательности

Защита кластера

«Дорогу осилит идущий,
математику
мыслящий»

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
"Если по-твоему цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи из арифметики Магницкого

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической
прогрессией со знаменателем q =2, n = 24.

3. Попытаемся подсчитать сумму

5. Имеем

4. Зная формулу

Легенда и изобретений шахмат Задача

Ученик4. Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше (4 зерна), на третью еще в 2 раза больше (4 зерна) и т. д. до 64-ой клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Работа по карточкам НАЗАД, В ИСТОРИЮ!

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Интересные факты

1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
5)Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

Спасибо Всем!

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни
приведут.

«Прогрессия - движение вперед».

Используемая литература

1.Алгебра.Учебник для 9 класса Ю.Н.Макарычев
2.Алгебра Открытые уроки С.Н.Зеленская
3.Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс 9-летней общеобразовательной школы С.Н.Данилюк
4.Интернет-ресурс WWW. kopilka urokov.ru

Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

«Все познается в сравнении»

Найдите закономерности

Устная работа

Арифметическая прогрессия

1) 1, 3, 5, 7, 9, …

2) 5, 8, 11, 14, …

3) -1, -2, -3, -4, …

4) -2, -4, -6, -8, …

Геометрическая прогрессия

1) 1, 2, 4, 8, …

2) 5, 15, 45, 135, …

3) 1; 0,1; 0,001;0,0001;

4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, …

d- разность

q-знаменатель

Определение

Арифметической Геометрической

прогрессией

называется п оследовательность,

отличных от нуля чисел

каждый член которой, начиная со второго,

равен предыдущему члену,

сложенному с одним

и тем же числом.

умноженному на одно

и то же число.

Определение

Числовая последовательность

а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,…

называется

арифметической геометрической

если для всех натуральных n

выполняется равенство

a n+1 = a n + d b n+1 = b n * q

0 арифметическая прогрессия возрастающая d арифметическая прогрессия убывающая q 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 геометрическая прогрессия убывающая" width="640"

арифметическая прогрессия возрастающая

арифметическая прогрессия убывающая

геометрическая прогрессия возрастающая

геометрическая прогрессия убывающая

Формула n-го члена прогрессии

Пусть заданы а 1 и d

a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d=а 1 +2d

a 4 =a 3 +d=а 1 +3d

…………………………… ..

a n =a 1 +(n-1)d

Пусть заданы b 1 и q

b 3 = b 2 *q= b 1 *q*q=b 1 *q 2

…………………………………………… .. b n = b 1 * q n-1

Чтобы задать

арифметическую геометрическую

прогрессию, достаточно указать её

первый член и первый член и

разность знаменатель

Составьте геометрическую прогрессию:

Ежедневно каждый болеющий гриппом

может заразить четырех окружающих.

1; 4; 16; 64;…

Дима на перемене съел булочку. Во время еды в
кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через
каждые 20 минут происходит деление бактерий (они
удваиваются).

30; 60; 120; 240;…

Каждый курильщик выкуривает в среднем

8 сигарет в сутки. После выкуривания одной

сигареты в легких оседает 0,0002 грамма

никотина и табачного дегтя. С каждой

последующей сигаретой это количество

увеличивается в два раза.

0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Работа в тетрадях Задание 1.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 1 = 5 q = 3

Найти: b 3 ; b 5 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45

b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81=405

Ответ: 45; 405.

Решение

Найдите

девятнадцатый член

арифметической

прогрессии, если

а 1 = 30 и d = – 2.

Найдите

восемнадцатый член

арифметической

прогрессии, если

а 1 = 7 и d = 4 .

Решение:

Воспользуемся

формулой n –го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

Получим:

а 18 =7 +(18 -1)∙ 4=

=7+17∙4=7+68=75

Ответ: а 18 =75.

Воспользуемся

формулой n –го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

Получим:

а 19 =30+(19-1)∙(- 2)=

= 30+18∙(-2)=30-36=-6

Ответ: а 19 = – 6.

Работа в тетрадях Задание 2.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 4 = 40 q = 2

Найти: b 1 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5

Ответ: 5.

Решение

Работа в тетрадях Задание 3.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 1 = -2, b 4 =-54.

Найти: q .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 4 =b 1 q 3 ; -54=(-2) q 3 ; q 3 = -54:(-2)=27;

Ответ: 3.

Решение

Математику должны учить в школе

ещё с той целью, чтобы познания,

здесь приобретаемые были

достаточными для обыкновенных

потребностей жизни.

И.Л.Лобачевский

Биология

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320.

5 инфузорий

Легкая промышленность

Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой

клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было

6144 клетки

Физика

Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?

128; 64; 16

Экология

Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

4 деления